Sudoku ja pulmat

TEK 3/2018 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1.

Ongelma. Rakennuksen edessä on vierekkäin 20 parkkipaikan jono. Kuinka monella eri tavalla seitsemän autoa voi parkkeerata niihin, jos kuitenkin halutaan, että jokaisen auton kummallekin puolelle jää tyhjä paikka?

Vastaus. Parkkeerauksen voi tehdä 17 297 280 eri tavalla.

Ratkaisu. Aloitetaan tarkastelemalla lopulta tyhjiksi jäävien 13 paikan jonoa. Nyt seitsemän autoa voi laittaa näiden ympärille syntyvään 14 eri paikkaan. Siten seitsemän auton parkkiruudut voi valita binomikertoimen 14 yli 7 antamalla eri tavalla, eli 3 432 eri tavalla. Autojen järjestyksen ruuduissa voi valita 7! eri tavalla, eli 5 040 eri tavalla. Kaiken kaikkiaan parkkeerauksen voi siis tehdä 3 432 * 5 040 = 17 297 280 eri tavalla.

PULMA 2.

Ongelma. Osoita, että lukujonosta 2018, 20182018, 201820182018, ... löytyy luku, joka on jaollinen luvulla 2017.

Ratkaisu. Koska jonossa on äärettömän monta lukua, mutta mahdollisia jakojäännöksiä luvulla 2017 jaettaessa on vain äärellinen määrä (eli 2017 erilaista), on joillakin kahdella eri jonon luvulla oltava sama jakojäännös luvulla 2017 jaettaessa. Olkoot näitä vaikkapa luku, jossa 2018 esiintyy a kertaa, ja luku, jossa 2018 esiintyy b kertaa, missä a<b. Tällöin niiden erotus on jaollinen luvulla 2017. Mutta niiden erotus on 20182018...2018000...0, missä luku 2018 esiintyy ensin b-a kertaa, ja sen jälkeen esiintyy 4a nollaa. Koska luku 2017 on yhteistekijätön potenssin 10(4a) kanssa, on nyt myös luvun 20182018...2018, missä 2018 esiintyy b-a kertaa, oltava jaollinen luvulla 2017 ja olemme valmiit.

PULMA 3.

Ongelma. Ympyrästä, jonka säde on 18, lohkaistaan sektori, jonka keskuskulma on 60 astetta. Sektorin sisälle piirretään ympyrä, joka sivuaa sektorin reunoja. Mikä on varjostetun alueen ala?

Vastaus. Varjostetun alueen ala on 15*pi-18*sqrt(3).

Ratkaisu. Olkoon pienen ympyrän säde r, ja olkoon l etäisyys ison ympyrän keskipisteen ja sivuamispisteen välillä, kuten seuraavassa kuvassa, ja olkoon d ison ympyrän ja pienen ympyrän keskipisteiden välinen etäisyys:

Koska d, l ja r ovat suorakulmaisen kolmion sivut, ja koska kyseessä on muistikolmio, on l=r*sqrt(3) ja d=2r. Nyt 18=d+r=3r, ja on oltava r=6 ja l=6*sqrt(3).

Koko sektorin ala on kuudesosa ison ympyrän alasta, eli pi*182/6=54*pi. Kuvioon syntyvän nelikulmion ala on 2*.5*l*r=l*r=36*sqrt(3). Pienen ympyrän nelikulmion ulkopuolelle jäävä ala on 2/3 koko pienen ympyrän alasta, eli (2/3)*pi*r2=24*pi.

Lopuksi varjostetun alueen ala on puolet siitä, mitä saadaan kun koko sektorista vähennetään kaksi viimeksi laskettua alaa, eli kysytty ala on (54*pi-36*sqrt(3)-24*pi)/2=15*pi-18*sqrt(3).

PULMA 4.

Ongelma. Etsi kaikki reaalilukuratkaisut yhtälöryhmälle:

Vastaus. Ainoa ratkaisu on x=y=z=3.

Ratkaisu. Voimme laskea, että 2(xy+yz+zx)=(x+y+z)2-(x2+y2+z2)=54, eli xy+yz+zx=27. Samassa hengessä voimme laskea, että x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2-(xy+yz+zx)), mistä saamme, että 3xyz=81-9*(27-27)=81, eli xyz=27. Luvut x, y ja z ovat täsmälleen yhtälön (t-x)(t-y)(t-z)=0 reaaliset ratkaisut t. Mutta tämän yhtälön voi kirjoittaa auki muodossa t3-(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t-xyz=0, minkä kertoimet jo tunnemmekin, ja yhtälö sievenee muotoon t3-9t2+27t-27=0. Mutta tämän viimeisen yhtälön voi vielä kerran sieventää muotoon (t-3)3=0. Siispä mikään luvuista x, y ja z ei voi olla muuta kuin 3. Toisaalta, on helppo tarkistaa, että x=y=z=3 on tosiaan yhtälöryhmän ratkaisu.

Vaihtoehtoinen lähestymistapa. Itse asiassa jo ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt kiinnittävät tuntemattomien arvot. Esimerkiksi, kolmioepäyhtälön ja aritmeettis-kvadraattisen epäyhtälön (tai vaikkapa Cauchyn--Schwarzin epäyhtälön) nojalla, on oltava 3=(x+y+z)/3<=(|x|+|y|+|z|)/3<=sqrt((x2+y2+z2)/3)=3, joten itse asiassa nämä epäyhtälöt ovatkin yhtäsuuruuksia. Koska edellinen epäyhtälö on yhtäsuuruus, ovat x, y ja z epänegatiivisia, ja koska toinen epäyhtälö on yhtäsuuruus, on oltava x=y=z, minkä jälkeen loppu on suoraviivaista. Geometrisesti kyse ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöiden riittävyydessä on siinä, että toisen asteen yhtälö määrää pallonkuoren, ja ensimmäisen asteen yhtälö sille tangenttitason sivuamispisteellä (3,3,3).

SUDOKU

TEK 2/2018 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1.

Ongelma. Kirsillä ja Tuomolla on 2018 tikkua kasassa. He pelaavat peliä, jossa he kukin vuorollaan ottavat kasasta yksi, kaksi tai kolme tikkua harkintansa mukaan. Kirsi ottaa tikkuja ensimmäisenä, ja se voittaa, joka ottaa kasasta viimeisen tikun. Onko Kirsillä tai Tuomolla voittostrategiaa?

Vastaus. Ensimmäisenä pelaavalla Kirsillä on voittostrategia.

Ratkaisu. Kirsi voi ottaa ensimmäisellä siirrollaan kaksi tikkua, jolloin Tuomolle jäävässä tikkukasassa on 2016 tikkua, eli neljällä jaollinen määrä. Jos kasassa on Tuomon vuorolla neljällä jaollinen määrä tikkuja, ja hän poistaa yhden, niin Kirsi voi vuorollaan poistaa kolme, jolloin Tuomo taas saa eteensä neljällä jaollisen määrän tikkuja. Samoin, jos Tuomo poistaa kaksi, niin Kirsi voi myös poistaa kaksi, ja jos Tuomo poistaa kolme, niin Kirsi voi poistaa yhden. Täten Kirsi voi aina pitää huolen siitä, että hänen siirtonsa jälkeen kasassa on neljällä jaollinen määrä tikkuja, kun taas Tuomon siirron jälkeen siinä on neljällä jaoton määrä tikkuja. Koska tikkujen lukumäärä pienenee joka siirrolla, lopulta se laskee nollaan jollakin Kirsin vuorolla, jolloin hän voittaa.

PULMA 2.

Ongelma. Ruudukossa on m riviä ja n saraketta. Kuinka monella eri tavalla voi kirjoittaa jokaiseen ruudukon ruutuun toisen luvuista +1 ja -1, kun vaaditaan, että lopullisessa taulukossa jokaisella rivillä olevien lukujen tulo on -1, ja että jokaisesta sarakkeesta löytyvien lukujen tulo on -1?

Vastaus. Jos m ja n ovat molemmat parillisia tai molemmat parittomia, niin vastaus on 2((m-1)*(n-1)). Jos taas luvuista m ja n toinen on parillinen ja toinen pariton, niin vastaus on 0.

Ratkaisu. Jos m ja n ovat eri parillisuutta, niin lukuja ei voi asetella halutulla tavalla. Nimittäin, jos luvut voi asetella taulukkoon, laskemalla riveillä olevien lukujen tulot keskenään saadaan (-1)m, kun taas laskemalla sarakkeissa olevien lukujen tulot keskenään saadaan (-1)n. Koska molemmat tulot ovat yhtä suuria kuin taulukon kaikkien lukujen tulo, on oltava (-1)m=(-1)n, eli eksponenttien m ja n on oltava samaa parillisuutta. Oletetaan siis, että näin on.

Ratkaisun ajatus tapauksessa m=n=4: voimme valita ensin 3x3-taulukon luvut mielivaltaisesti, minkä jälkeen kaikki muut luvut määräytyvät yksikäsitteisesti.

Asetellaan ruudukkoon lukuja +1 ja -1 mielivaltaisella tavalla, kuitenkin niin, että oikeanpuoleisin sarake ja alin rivi jätetään tyhjiksi. Täytämme siis (m-1)(n-1) ruutua, ja valinnan voi tehdä 2((m-1)(n-1)) eri tavalla. Nyt, alinta riviä lukuun ottamatta, jokaisen rivin viimeinen luku voidaan valita täsmälleen yhdellä tavalla niin, että sen rivin lukujen tulo on -1. Samoin jokaisen sarakkeen, viimeistä lukuun ottamatta, alin luku voidaan valita niin, että sen sarakkeen lukujen tulo on -1. Riittää enää täyttää oikeassa alanurkassa oleva ruutu. Olkoon A aluksi taulukkoon asetettujen (m-1)(n-1) luvun tulo, B alimmalla rivillä olevien n-1 luvun tulo, ja C oikeanpuoleisimman sarakkeen m-1 luvun tulo. Sen perusteella, miten alinta riviä ja oikeanpuoleisinta saraketta on täytetty, on AB=(-1)(n-1) ja AC=(-1)(m-1). Erityisesti siis BC=AB*AC=(-1)(n-1+m-1)=1, koska m ja n ovat samaa parillisuutta. Siis oikeaan alanurkkaan voi laittaa luvun -B=-C, ja taulukko on valmis, ja vastaus on 2((m-1)(n-1)).

PULMA 3.

Kuva: Reijo Ernvall

Ongelma. Tarkastellaan ristikkoavainta. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että se muodostuu kahdesta ympyrälieriöstä, joiden kummankin halkaisija on 1, ja joiden symmetria-akselit leikkaavat toisensa kulmassa x. Mikä on lieriöiden yhteinen tilavuus? (Tavallisesti ristikkoavaimessa kulma on suora ja ympyrälieriöt ovat joko ikäänkuin päällekkäin tai niiden risteämässä on pieni paksuuntuma.)

Vastaus. Yhteinen tilavuus on 2/(3*sin(x)).

Ratkaisu. Olkoon T se taso, johon molempien lieriöiden symmetria-akselit kuuluvat. Olkoon lisäksi O symmetria-akselien leikkauspiste, ja olkoon V kysytty tilavuus. Lieriöiden leikkaukset tason T kanssa ovat nauhoja, joiden leveys on 1, ja lieriöiden yhteisen tilavuuden leikkaus tason T kanssa on sama kuin näiden nauhojen leikkaus, eli suunnikas, jonka jokaisen sivun pituus on 1/sin(x), ja jonka eräs kulma on x. O-keskisen 1/2-säteisen pallon leikkaus tason T kanssa on 1/2-säteinen ympyrä, joka samalla on myös leikkaussuunnikkaan sisäänpiirretty ympyrä. (Ts. ympyrä sivuaa suunnikkaan sivuja.)

Tarkastellaan seuraavaksi jotakin toista tasoa U, joka on samansuuntainen tason T kanssa, mutta siitä etäisyydellä d joka on pienempi kuin 1/2. Lieriöiden leikkaukset tason U kanssa ovat nauhoja, joiden paksuus on sqrt(1-4d2). Näiden nauhojen leikkaus on jälleen suunnikas, jonka ala on 1-4d2 kertaa tasossa T olleen leikkaussuunnikkaan ala. Toisaalta, O-keskisen 1/2-säteisen pallon leikkaus tason U kanssa on sqrt(1-4d2)/2-säteinen ympyrä, joka itse asiassa on myös tasossa U sijaitsevan leikkaussuunnikkaan sisäänpiirretty ympyrä, koska ympyrällä ja suunnikkaalla on sama keskipiste. (Keskipistehän on itse asiassa tason T pisteen O kautta kulkevan kohtisuoran ja tason U leikkauspiste.)  Tämän ympyrän ala on (1-4d2) kertaan tasossa T olleen 1/2-säteisen ympyrän ala, mikä tarkoittaa sitä, että tasossa U poikkileikkaussuunnikkaan ja -ympyrän alojen suhde on sama kuin tasossa T.

Täten siis lieriöiden yhteisen tilavuuden V suhde O-keskisen 1/2-säteisen pallon tilavuuden pi/6 kanssa on sama kuin yllä mainitun tasossa T sijaitsevan suunnikkaan alan 1/sin(x) ja sen sisäänpiirretyn 1/2-säteisen ympyrän alan pi/4 suhde, joka puolestaan on 4/(pi*sin(x)). Täten V=2/(3*sin(x)).

PULMA 4.

Ongelma. Määritä kaikki epänegatiivisten kokonaislukujen kolmikot (p,m,n), joissa p on alkuluku ja jotka toteuttavat yhtälön 
pm-n³=27.

Ratkaisu. Huomataan, että pm=27+n3=(n+3)(9-3n+n2). Koska p on alkuluku, on oikean puolen termien oltava luvun p potensseja. Lasketaan niiden suurin yhteinen tekijä:

syt(n+3,9-3n+n2)=syt(n+3,9-3n+n2-(n+3)2)=syt(n+3,9n)=syt(n+3,9n-9(n+3))=syt(n+3,27),

eli suurin yhteinen tekijä on 1, 3, 9 tai 27. Lisäksi n+3 on vähintään 3 ja pienempi kuin 9-3n+n2. Luvun p on siis oltava 3 ja luvun n+3 on oltava 3, 9 tai 27. Käydään nämä tapaukset läpi:

Jos n+3=3, niin n=0 ja 9-3n+n2=9. Siispä m=3.

Jos n+3=9, niin n=6 ja 9-3n+n2=27. Siispä m=5.

Jos n+3=27, niin n=24 ja 9-3n+n2=513, joka ei ole alkuluvun potenssi.

Kolmikot ovat siis (3,3,0) ja (3,5,6).

SUDOKU

TEK 1/2018 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1.

Ongelma. Osoita, että kun luvut 2017 ja 2019 korotetaan 2018. potenssiin ja lasketaan yhteen, tulos on jaollinen kymmenellä, mutta ei kahdellakymmenellä tai kolmellakymmenellä.

Ratkaisu. Luku 2019 on jaollinen kolmella, luku 2017 ei, joten niiden potenssien summa ei voi olla kolmella jaollinen.

Luvun 2019a viimeinen numero on jaksollinen, kun a saa arvoja 1, 2, 3, ... Viimeinen numero on vastaavasti 9, 1, 9, 1, ..., eli jos a on parillinen, on viimeinen numero 1, ja jos a on pariton, on viimeinen numero 9.

Luvun 2017a viimeinen numero on myös jaksollinen: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ...

Näiden summan viimeinen numero on siis myös jaksollinen: 6, 0, 2, 2, 6, 0, 2, 2, ...

Jos siis a on muotoa 4k+2, on viimeinen numero 0, eli luku on jaollinen kymmenellä. Luku 2018 on täsmälleen tätä muotoa.

Koska luku 2017 on muotoa 8m+1, ovat sen kaikki potenssit muotoa 8n+1. Luku 2019 on puolestaan muotoa 8a+3, joten sen parilliset potenssit ovat muotoa 8b+1 ja parittomat potenssit muotoa 8b+3. Parillisten
potenssien summa on siis muotoa 8c+2, eli 2018. potenssien summa on jaollinen kahdella, ei neljällä, joten se ei voi olla koskaan luvulla 20 jaollinen.

PULMA 2.

Ongelma. Kolme nauhaa, joista jokaisen leveys on 1, leikkaavat toisensa kuvan mukaisella tavalla siten, että ne rajaavat teräväkulmaisen kolmion. Nauhojen päällekkäin menevät osat ovat suunnikkaita. Jos yhden suunnikkaan ala on A, ja toisen suunnikkaan ala on B, niin mikä on kolmannen suunnikkaan ala C?

Vastaus.

Ratkaisu. Olkoot keskelle syntyvän kolmion kulmat a, b ja c seuraavan kuvan mukaisesti.

Tarkastellaan ensin suunnikasta A. Sen kaikki sivut ovat yhtä pitkiä, ja voi helposti laskea, että sen sivun pituus on 1/sin(a). Suunnikkaan ala on siis A=(1/sin(a))*(1/sin(a))*sin(a)=1/sin(a). Samassa hengessä B=1/sin(b) ja C=1/sin(c). Nyt voimme laskea, että

PULMA 3.

Ongelma. Kirsillä on 100 nukkea, ja hänellä on mistä tahansa kahdesta nukestaan voimakas mieli­pide siitä, kumpi niistä on parempi. Osoita, että Kirsi voi asettaa nuket järjestykseen niin, että jokainen nukke on hänen mielestään seuraavaa parempi.

Ratkaisu. Kirsi aloittakoon paremmuuslistan rakentamisen valitsemalla ensin kaksi nukkea. Ne hän voi helposti asettaa järjestykseen. Kasvatetaan seuraavaksi listaa nukke kerrallaan, kunnes kaikki nuket
ovat listalla. Oletetaan, että meillä on n nukkea x(1), x(2), ..., x(n), jotka ovat paremmuusjärjestyksessä, missä x(1) on parempi kuin x(2), x(2) parempi kuin x(3) ja niin edelleen. Seuraavassa kuvassa paremmuutta merkitään ilmeisellä tavalla nuolella.

Otetaan sitten tarkasteluun jokin vielä järjestämätön nukke y. Jos y on parempi kuin x(1), niin nuken y voi helposti lisätä listan alkuun:

Jos taas y on huonompi kuin x(n), niin nuken y voi lisätä listan loppuun. Siten voimme olettaa, että nukke y on huonompi kuin x(1) mutta parempi kuin x(n):

Nyt ei ole vaikea vakuuttua siitä, että listalta täytyy löytyä jotkin kaksi peräkkäistä nukkea x(i) ja x(i+1), joille x(i) on parempi kuin y mutta x(i+1) on huonompi kuin y,

ja voimme lisätä nuken y listalle nukkejen x(i) ja x(i+1) väliin.

PULMA 4.

Ongelma. Olkoot tetraedrissa kahden vierekkäisen tahkon pinta-alat A ja B, niiden välinen kulma c, ja niiden yhteisen sivun pituus d. Mikä tällöin on tetraedrin tilavuus?

Vastaus. Tilavuus on 2*A*B*sin(c)/(3*d).

Ratkaisu. Olkoon tetraedrin tahkoa B vastaan piirretyn korkeusjanan pituus h, jolloin tetraedrin tilavuus on V=B*h/3. Olkoon tahkon A yhteistä sivua d vasten piirretyn korkeusjanan pituus k, jolloin A=d*k/2. Seuraavassa kuvassa vasen etutahko on A, ja pohjatahko on B.

Nyt tarkastelemalla suorakulmaista kolmiota, jonka tangentin pituus on k ja toisen kateetin pituus h, nähdään, että sin(c)=h/k. Saaduista yhtälöistä on helppo ratkaista ensin, että k=2*A/d, ja sitten, että h=k*sin(c)=2*A*sin(c)/d, jolloin lopuksi V=B*h/3=2*A*B*sin(c)/(3*d).

SUDOKU

TEK 5/2017 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1.

Ongelma. Annetuille kokonaisluvuille a, b, c ja d 
määritellään polynomi:

P(x) = ax3 + bx2 + cx +d

Onko mahdollista, että P(1)=2017 ja P(2017)=0?

Vastaus. Ei ole.

Ratkaisu. Jos kokonaisluvut x ja y ovat molemmat parillisia, tai molemmat parittomia, niin varmasti erotukset d-d, cx-cy, bx2-by2 ja ax3-ay3 ovat parillisia, jolloin myös P(x)-P(y) on parillinen. Luvut 1 ja 2017 ovat molemmat parittomia, eli jos olisi P(1)=2017 ja P(2017)=0, niin luvun P(1)-P(2017)=2017 olisi oltava parillinen, mitä se ei ole.

PULMA 2.

Ongelma. Alla olevassa kuvassa on Turun metrokartta. Kuvan täplät merkitsevät metroasemia ja suorat viivat vierekkäisten asemien välisiä radanpätkiä. Insinööri haluaa tarkistaa kaikkien asemien sähköliitännät. Onko hänen mahdollista käydä asemat läpi metrolla niin, että hän käy jokaisella asemalla täsmälleen kerran ajamatta minkään metro­aseman ohi pysähtymättä?

Vastaus. Ei ole.

Ratkaisu. Värjätään metroasemat vaaleanpunaisella ja violetilla siten, että vierekkäiset asemat väritetään aina eri väreillä. Jos kuvan keskimmäinen asema väritetään vaaleanpunaisella, on vaaleanpunaisia asemia 7 ja violetteja 9. Nyt nähdään, että jokaisen aseman kautta täsmälleen kerran kulkeva reitti ei voi olla mahdollinen, sillä jokainen reitti metrossa on sellainen, jossa aseman väri vaihtuu kahden aseman välillä, jolloin vaaleanpunaisten ja violettien asemien määrä reitillä poikkeaa enintään yhdellä.

PULMA 3.

Ongelma. Laske kulmat b ja c, kun kulma a on 21 astetta, kulma d on 30 astetta, kulmat BXA, CXB ja DXC ovat yhtä suuret, ja kulmat BYA, CYB ja DYC ovat yhtä suuret.

Vastaus. Kulma b on 24 astetta ja kulma c on 27 astetta.

Ratkaisu. Olkoon kulma BXA suuruudeltaan x, ja olkoon kulma DYC suuruudeltaan y. Olkoon P janojen AY ja BX leikkauspiste. Kolmioiden APX ja BPY kulmien summat ovat molemmat 180 astetta, ja niiden kulmat kärjessä P ovat yhtä suuret. Siten a+x=b+y, eli b=a+(x-y). Samanlainen argumentti kertoo, että c=b+(x-y) ja d=c+(x-y). Kaikkiaan d=a+3(x-y). Mutta koska d on 30 astetta ja a on 21 astetta, seuraa tästä välittömästi, että x-y on 3 astetta. Siten b on 21+3=24 astetta ja c on 24+3=27 astetta.

PULMA 4

Ongelma. Lemmikkieläinlehti päätti selvittää lukijakuntansa olemuksen. Tehtävä annettiin kesäharjoittelijalle. Kyselyyn saatiin tuhat vastausta. Kyselyssä selvitettiin asuuko lukija maalla vai kaupungissa, onko hänellä kissaa ja onko hänellä koiraa. Kyselyn vastausten mukaan vastanneista lukijoista 587 asui kaupungissa, 522 lukijalla oli koira, näistä kaupungissa asui 257, lukijoista 435:llä oli kissa, näistä kaupungissa asui 172. Sekä kissan että koiran omistajia oli 180, ja näistä kaupungissa asui 67. Toimituskunnan kokouksessa dataa hetken tuijotettuaan toimitussihteeri totesi, että data ei voi olla totta. Mistä toimitussihteeri tiesi tämän?

Ratkaisu. Koiranomistajia on 522, joista kaupungissa 257, joten maalla asui 522-257=265 koiranomistajaa. Kissanomistajia taas 435, joista kaupungissa 172, joten maalla 263. Koiran ja kissan omistajia 180, joista kaupungissa 67, joten maalla 113. Lemmikinomistajia on siis maalla 265+263-113=415, eli lemmikinomistajia on maalla enemmän kuin maalla asuvia yhteensä, koska heitä on vain 1000-587=413.

SUDOKU

TEK 4/2017 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1.

Ongelma. Luvun kymmenjärjestelmäesityksessä kymmenien ja ykkösten summa on 13 ja kaikkien numeroiden tulo 120. Mikä on satoja merkitsevä numero?

Ratkaisu. Koska kymmenien ja ykkösten summa on 13, on numeroiden näillä paikoilla oltava (4, 9), (5, 8) tai (6, 7) jossain järjestyksessä. Kaikkien numeroiden tulo on 120. Koska 120 ei ole jaollinen seitsemällä eikä yhdeksällä, ei ensimmäinen eikä viimeinen pari kelpaa, vaan oikean parin on oltava (5, 8). Niiden tulo on 40. Satojen kohdalla on siis oltava 3.

Ongelma. On annettu ympyrä Y, jonka säde on 7. Annikki ja Bertta pelaavat peliä, jossa he vuorotellen piirtävät 1-säteisiä ympyröitä ison ympyrän Y sisään. Piirrettävä ympyrä saa sivuta ympyrää Y sekä aiempia ympyröitä, mutta se ei koskaan saa leikata niitä. Annikki piirtää ympyrän ensimmäisenä, ja se, joka ensimmäisenä ei voi piirtää vuorollaan ympyrää, häviää pelin. Onko jommalla kummalla pelaajalla voittostrategiaa?
 
Ratkaisu. Annikilla on voittostrategia. Nimittäin, jos hän ensimmäisellä vuorollaan piirtää 1-säteisen ympyränsä ison ympyrän keskelle, niin silloin hän voi sen jälkeen aina vuorollaan tehdä Bertan edellisen siirron peilikuvan ympyrän Y keskipisteen suhteen.

Ongelma. Kolmiossa ABC on AC=BC, ja sen sisäänpiirretyn ympyrän säde on 2. Lisäksi eräs 1-säteinen ympyrä sivuaa sekä sisäänpiirrettyä ympyrää että sivuja AC ja BC. Mikä onkaan kolmion pisteestä C piirretyn korkeusjanan pituus?

Ratkaisu. Merkitään 2-säteisen ympyrän keskipistettä I, ja 1-säteisen ympyrän keskipistettä J. Merkitään lisäksi 2-säteisen ympyrän ja sivun BC sivuamispistettä D, ja 1-säteisen ympyrän ja sivun BC sivuamispistettä E. Koska JE ja ID ovat molemmat kohtisuorassa sivua BC vastaan, ovat kolmiot CJE ja CID yhdenmuotoisia. Erityisesti on siis oltava CI:CJ=ID:JE=2:1, eli CJ+3=CI=2*CJ, mistä ratkaistaan helposti, että CJ=3. Mutta nyt kolmion korkeus on CJ+1+2+2=8.

Ongelma. Pöydällä on 1001 kiveä yhdessä kasassa. Seuraavaa operaatiota suoritetaan toistuvasti: otetaan yksi kasa, poistetaan siitä yksi kivi, ja sitten jäljelle jäänyt kasa jaetaan kahdeksi eri kasaksi (joiden ei tarvitse olla yhtä suuria). Onko näin toimimalla mahdollista päästä tilanteeseen, jossa pöydän jokaisessa kasassa on täsmälleen kolme kiveä?

Ratkaisu. Kasojen lukumäärän ja kivien lukumäärän summa säilyy muuttumattomana. Alussa summa on jakojäännökseltään 2 neljällä jaettaessa, mutta tilanteessa, jossa jokaisessa kasassa olisi täsmälleen kolme kiveä, se olisi neljällä jaollinen. Siten jälkimmäiseen tilanteeseen ei ole mahdollista päästä.

Sudoku

TEK 3/2017 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1.

Ongelma. Ympyrän, jonka säde on neljä, sisältä on annettu 61 pistettä. Osoita, että näiden pisteiden joukosta löytyy kaksi, joiden välinen etäisyys on enintään neliöjuuri kahdesta.
    
Ratkaisu. Piirretään ympyrän ympärille 8-sivuinen neliö, ja jakakaamme se 64 yksikköneliöksi. On helppo varmistaa, että ympyrä ei leikkaa nurkissa olevia yksikköneliöitä, eli ympyrä leikkaa vain 60 pientä neliötä, jolloin jotkin kaksi annetuista pisteistä löytyvät saman yksikköneliön alueelta (reuna mahdollisesti mukaan lukien). Väite koskien nurkkaneliöitä on helppo varmistaa vaikkapa seuraavasti: nurkkaneliön lähinnä ympyrän keskipistettä oleva kärki on ympyrän keskipisteestä etäisyydellä sqrt(32+32)=3*sqrt(2)>4.

PULMA 2.

Ongelma. Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvut n, joilla n3+5n2+10n+1 on jonkin kokonaisluvun kolmas potenssi.
    
Ratkaisu. Jokaisella n on (n+1)3=n3+3n2+3n+1 ja (n+2)3=n3+6n2+12n+8, eli (n+1)3<n3+5n2+10n+1<(n+2)3. Koska lauseke aina sijaitsee aidosti kahden peräkkäisen kuutioluvun välissä, ei se itse voi koskaan olla kuutioluku.

PULMA 3.

Ongelma. Alla olevassa kuvassa on 1-särmäisistä kuutioista koostuva 2-särmäinen kuutio, 2-särmäisistä kuutioista koostuva 6-särmäinen kuutio, ja 3-särmäisistä kuutioista koostuva 12-särmäinen kuutio. Mitä voit päätellä kuvioista, kun tiedetään, että positiivisille kokonaisluvuille n pätee

Ratkaisu. Kuutioita tarkastelemalla voi päätyä tällaiseen havaintoon: kun k on positiivinen kokonaisluku, voi k(k-1)-särmäisen kuution peittää tiiviisti k-särmäisillä kuutioilla, jolloin saadaan isompi (k+1)k-särmäinen kuutio. Näitä k-särmäisiä kuutioita tarvitaan 8+12(k-1)+6(k-1)2 kappaletta. Siten

ja pienellä sievennyksellä saadaan

PULMA 4.

Ongelma. Lumisen kevään kunniaksi on alla olevassa kuvassa lumiukko, jota nyt tarkastellaan. Lumiukon alemman pallon säde on kaksi, ylemmän pallon säde on yksi. Lumiukon ylempi pallo on asetettu alemman pallon päälle niin, että ylemmän pallon keskipiste on alemman pallon kuorella, ja ylemmästä pallosta on koverrettu riittävästi lunta pois, että se asettuu saumattomasti alemmalle pallolle. Määritä pinta-ala.

Ratkaisu. Katsotaan alla olevaa ratkaisukuvaa. Pallojen keskipisteiden etäisyys on kaksi. Saadaan siis Pythagoraksen lauseella yhtälöt x2+y2=1 ja x2+(2-y)2=22. Toisesta yhtälöstä ensimmäinen vähentämällä saadaan y=1/4. Pallojen yhteenlaskettu pinta-ala on 4pi(12+22)=20pi. Lasketaan poistuneiden kalottien alat. Kalotin alan kaava on 2pi rh, missä r on pallon säde ja h kalotin korkeus. Isomman pallon poistuneelle kalotille tämä antaa 2pi*2/4=pi, sillä kalotin korkeus on äsken ratkaistu y=1/4. Pienemmälle pallolle taas kalotin korkeus on 1-1/4=3/4, joten ala on 2pi*1*3/4=3pi/2. Yhteensä ala on siis 20pi-pi-3pi/2=17,5pi.

TEK 2/2017 -lehdessä julkaistujen Pulmien ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1

Ongelma. Ilmassa leijuu metrin pituinen suora langanpätkä. Sen päällä on sata pienen pientä muurahaista, joista jokainen kävelee langanpätkää pitkin tasaisella nopeudella 1 cm sekunnissa jompaan kumpaan käytettävissä olevista suunnista. Kun kaksi muurahaista törmäävät, ne molemmat kääntyvät ja jatkavat matkaansa samalla nopeudella siihen suuntaan mistä tulivatkin. Kun muurahainen saapuu langanpätkän jompaan kumpaan päähän, se putoaa siltä pois. Kuinka kauan on odotettava, että kaikki muurahaiset ovat varmasti pudonneet pois?

Vastaus. Sata sekuntia.

Ratkaisu. Kysymyksemme kannalta muurahaisten identiteeteillä ei ole mitään merkitystä ja voimme siksi olettaa, että kahden muurahaisen törmätessä ne vain jatkavat matkaansa toistensa läpi ikään kuin mitään törmäystä ei olisi koskaan tapahtunutkaan. Mutta nyt langanpätkän tyhjenemiseen menee enintään niin kauan kuin yhdeltä muurahaiselta kestää kävellä sen päästä päähän, eli tasan sata sekuntia.

PULMA 2

Ongelma. Oheisessa kuviossa on suunnikas, joka on jaettu janoilla 
kolmioiksi ja nelikulmioiksi. Osoita, että harmaiden alueiden alojen summa on yhtä suuri kuin mustan alueen ala.

Ratkaisu. Merkitään kuviossa neliöiden ja kolmioiden aloja a, b, c, d, r ja s seuraavan kuvion mukaisesti.

Luonnollisesti r+d+s on puolet koko suunnikkaan alasta. Samassa hengessä r+a+b+s+c on puolet koko suunnikkaan alasta. Siten r+d+s=r+a+b+s+c, mikä sievenee muotoon d=a+b+c, mikä oli todistettava.

PULMA 3

Ongelma. Honkapitäjän ja Koivulaakson välillä kulkevia junia lähtee kummassakin kaupungissa tunnin välein tasatunnein. Matka kestää tasan neljä tuntia. Matti matkusti junalla Honka­pitäjästä Koivulaaksoon ja katseli junan ikkunasta koko matkan ajan. Montako Koivulaaksosta Honkapitäjään matkalla 
olevaa junaa hän näki matkansa aikana? (Tässä mahdollisia juuri Honkapitäjään 
saapumassa olevia tai Koivulaaksosta lähdössä olevia junia ei oteta huomioon.)

Vastaus. Matti näki seitsemän vastaantulevaa junaa.

Ratkaisu. Piirretään kuva, jossa aika kuluu vaakasuunnassa ja rata pystysuunnassa. Matin juna on merkitty paksulla viivalla, ja muut viistot viivat ovat Koivulaaksosta Honkapitäjään matkustavia junia.

SUDOKU

TEK 1/2017 -lehdessä julkaistujen Pulmien ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1

Ongelma. Oheisessa kuvassa on kolme säännöllistä seitsenkulmiota, joiden sivujen pituudet ovat 3, 4 ja 7. Kuinka suuren osan isoimman seitsenkulmion alasta kaksi pienempää seitsenkulmiota peittävät?

Vastaus. Pienemmät seitsenkulmiot peittävät 25/49 isoimman seitsenkulmion alasta.

Ratkaisu. Kun pituudet kerrotaan vakiolla a, pinta-alat tulevat kerrotuiksi neliöllä a2. Siten pienimmän seitsenkulmion ala on (3/7)2 = 9/49 isoimman seitsenkulmion alasta, ja toiseksi pienimmän seitsenkulmion ala (4/7)2 = 16/49. Yhteensä ison seitsenkulmion alasta peittyy siis (9 + 16)/49 = 25/49.

PULMA 2

Ongelma. Onko oheinen 6 × 6 -ruudukko mahdollista peittää oheisilla 15 laatalla?

Vastaus. Ei ole.

Ratkaisu. Oletetaan, että halutunlainen laatoitus olisi mahdollinen. Väritetään ruudukon ruudut mustalla ja valkealla samoin kuin šakkilaudan ruudut. Näin syntyy 18 mustaa ja 18 valkeaa ruutua. Laatoista 4×1- ja 2×1-laatat kummatkin peittävät aina yhtä monta valkeaa ja mustaa ruutua, ja siten yhdessä niiden muotoiset laatat peittävät 14 mustaa ja 14 valkeaa ruutua. Loput neljä mustaa ja neljä valkeaa ruutua pitäisi siis peittää viiden ruudun ristikkolaatalla ja kolmen ruudun nurkkalaatalla, mutta tämä ei ole mahdollista. Tämän näkee toteamalla vaikkapa, että ristikkolaatta peittäisi jo yksinään joko kaikki jäljelle jääneet mustat tai kaikki jäljelle jääneet valkeat ruudut, jolloin nurkkalaattaa, jonka on aina peitettävä ainakin yksi musta ja yksi valkea ruutu, ei voisi asettaa laudalle.

PULMA 3

Ongelma. Matti kirjoittaa lukuja joukosta {1, 2, 3, . . . , 998, 999, 1000} liitutaululle jonoon. Hän haluaa, että kahden peräkkäisen luvun summa on aina jaollinen sadalla. Kuinka pitkään hän voi jatkaa ennen kuin hänen viimeistään on kirjoitettava taululle jokin jo aiemmin kirjoitettu luku?

Vastaus. Viimeistään 21. luku on jo esiintynyt taululla aiemmin. 

Ratkaisu. Kirjoittakoon Matti taululle luvut x1, x2, . . . , xN , missä N on positiivinen kokonaisluku. Koska luvut x1 + x2 ja x2 + x3 ovat molemmat sadalla jaollisia, on myös niiden erotus x1 − x3 sadalla jaollinen. Täten luvuilla x1 ja x3 on sama jakojäännös sadalla jaettaessa. Mutta nyt ei ole hankala todeta, että luvuilla x1, x3, x5, . . . on keskenään sama jakojäännös sadalla jaettaessa, ja samoin luvuilla x2, x4, x6, . . . on keskenään sama jakojäännös sadalla jaettaessa. Jokaisella mahdollisella jakojäännöksellä sadalla jaettaessa on listassa 1, 2, 3, . . . , 1000 täsmälleen kymmenen lukua, joilla on tuo jakojäännös. Täten lukuja x1, x3, ...on enintään kymmenen kappaletta, ja samaten lukuja x2, x4, ...on enintään kymmenen kappaletta. Täten N on enintään 10 + 10 = 20. Toisaalta, arvo N = 20 on mahdollinen, jos Matti kirjoittaa taululle vaikkapa luvut 1, 999, 101, 899, 201, 799, 301, 699, 401, 599, 501, 499, 601, 399, 701, 299, 801, 199, 901, 99.

PULMA 4

Ongelma. Luvut 1, 2, 3, 4, ..., 2016 ja 2017 kerrotaan keskenään. Kuinka moneen nollaan näin saatu luku päättyy?

Vastaus. Tulo päättyy 502 nollaan.

Ratkaisu. Yksikäsitteisen tekijöihinjaon vuoksi meitä kiinnostaa vain se, kuinka monta kertaa alkuluvut 2 ja 5 esiintyvät tulon tekijöihinjaossa. Ensinnäkin, joka viides tulontekijöistä on viidellä jaollinen, ja näin saadaan 403 kappaletta alkulukua 5. Toiseksi, joka 25. tulontekijöistä on jaollinen luvulla 25, joten saadaan 80 kappaletta alkulukua 5 lisää. Edelleen, tarkastelemalla jaollisuutta luvun 5 kolmannella potenssilla 125 saadaan 16 kappaletta lisää, ja neljännellä potenssilla 625 saadaan vielä 3 kappaletta lisää. Viides potenssi 3125 onkin jo isompi kuin 2017. Yhteensä alkuluku 5 esiintyy siis 403 + 80 + 16 + 3 = 502 kertaa tulon tekijöihinjaossa. Nyt on varsin selvää, että alkuluku 2 esiintyy useammin kuin alkuluku 5, ja itse asiassa samanlaisella argumentilla näkee, että luku 2 esiintyy tekijöihinjaossa peräti 2010 kertaa. Yhteensä tulo päättyy siis 502 nollaan.

SUDOKU

 

TEK 5/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 4/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 3/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 2/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 1/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 5/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 4/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 3/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 2/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 1/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

 

TEK 7/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

 

TEK 6/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 5/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 4/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 3/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 2/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 1/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 7/2013 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

 

TEK 6/2013 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu: