Sudoku ja pulmat

TEK 5/2017 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1.

Ongelma. Annetuille kokonaisluvuille a, b, c ja d 
määritellään polynomi:

P(x) = ax3 + bx2 + cx +d

Onko mahdollista, että P(1)=2017 ja P(2017)=0?

Vastaus. Ei ole.

Ratkaisu. Jos kokonaisluvut x ja y ovat molemmat parillisia, tai molemmat parittomia, niin varmasti erotukset d-d, cx-cy, bx2-by2 ja ax3-ay3 ovat parillisia, jolloin myös P(x)-P(y) on parillinen. Luvut 1 ja 2017 ovat molemmat parittomia, eli jos olisi P(1)=2017 ja P(2017)=0, niin luvun P(1)-P(2017)=2017 olisi oltava parillinen, mitä se ei ole.

PULMA 2.

Ongelma. Alla olevassa kuvassa on Turun metrokartta. Kuvan täplät merkitsevät metroasemia ja suorat viivat vierekkäisten asemien välisiä radanpätkiä. Insinööri haluaa tarkistaa kaikkien asemien sähköliitännät. Onko hänen mahdollista käydä asemat läpi metrolla niin, että hän käy jokaisella asemalla täsmälleen kerran ajamatta minkään metro­aseman ohi pysähtymättä?

Vastaus. Ei ole.

Ratkaisu. Värjätään metroasemat vaaleanpunaisella ja violetilla siten, että vierekkäiset asemat väritetään aina eri väreillä. Jos kuvan keskimmäinen asema väritetään vaaleanpunaisella, on vaaleanpunaisia asemia 7 ja violetteja 9. Nyt nähdään, että jokaisen aseman kautta täsmälleen kerran kulkeva reitti ei voi olla mahdollinen, sillä jokainen reitti metrossa on sellainen, jossa aseman väri vaihtuu kahden aseman välillä, jolloin vaaleanpunaisten ja violettien asemien määrä reitillä poikkeaa enintään yhdellä.

PULMA 3.

Ongelma. Laske kulmat b ja c, kun kulma a on 21 astetta, kulma d on 30 astetta, kulmat BXA, CXB ja DXC ovat yhtä suuret, ja kulmat BYA, CYB ja DYC ovat yhtä suuret.

Vastaus. Kulma b on 24 astetta ja kulma c on 27 astetta.

Ratkaisu. Olkoon kulma BXA suuruudeltaan x, ja olkoon kulma DYC suuruudeltaan y. Olkoon P janojen AY ja BX leikkauspiste. Kolmioiden APX ja BPY kulmien summat ovat molemmat 180 astetta, ja niiden kulmat kärjessä P ovat yhtä suuret. Siten a+x=b+y, eli b=a+(x-y). Samanlainen argumentti kertoo, että c=b+(x-y) ja d=c+(x-y). Kaikkiaan d=a+3(x-y). Mutta koska d on 30 astetta ja a on 21 astetta, seuraa tästä välittömästi, että x-y on 3 astetta. Siten b on 21+3=24 astetta ja c on 24+3=27 astetta.

PULMA 4

Ongelma. Lemmikkieläinlehti päätti selvittää lukijakuntansa olemuksen. Tehtävä annettiin kesäharjoittelijalle. Kyselyyn saatiin tuhat vastausta. Kyselyssä selvitettiin asuuko lukija maalla vai kaupungissa, onko hänellä kissaa ja onko hänellä koiraa. Kyselyn vastausten mukaan vastanneista lukijoista 587 asui kaupungissa, 522 lukijalla oli koira, näistä kaupungissa asui 257, lukijoista 435:llä oli kissa, näistä kaupungissa asui 172. Sekä kissan että koiran omistajia oli 180, ja näistä kaupungissa asui 67. Toimituskunnan kokouksessa dataa hetken tuijotettuaan toimitussihteeri totesi, että data ei voi olla totta. Mistä toimitussihteeri tiesi tämän?

Ratkaisu. Koiranomistajia on 522, joista kaupungissa 257, joten maalla asui 522-257=265 koiranomistajaa. Kissanomistajia taas 435, joista kaupungissa 172, joten maalla 263. Koiran ja kissan omistajia 180, joista kaupungissa 67, joten maalla 113. Lemmikinomistajia on siis maalla 265+263-113=415, eli lemmikinomistajia on maalla enemmän kuin maalla asuvia yhteensä, koska heitä on vain 1000-587=413.

SUDOKU

TEK 4/2017 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1.

Ongelma. Luvun kymmenjärjestelmäesityksessä kymmenien ja ykkösten summa on 13 ja kaikkien numeroiden tulo 120. Mikä on satoja merkitsevä numero?

Ratkaisu. Koska kymmenien ja ykkösten summa on 13, on numeroiden näillä paikoilla oltava (4, 9), (5, 8) tai (6, 7) jossain järjestyksessä. Kaikkien numeroiden tulo on 120. Koska 120 ei ole jaollinen seitsemällä eikä yhdeksällä, ei ensimmäinen eikä viimeinen pari kelpaa, vaan oikean parin on oltava (5, 8). Niiden tulo on 40. Satojen kohdalla on siis oltava 3.

Ongelma. On annettu ympyrä Y, jonka säde on 7. Annikki ja Bertta pelaavat peliä, jossa he vuorotellen piirtävät 1-säteisiä ympyröitä ison ympyrän Y sisään. Piirrettävä ympyrä saa sivuta ympyrää Y sekä aiempia ympyröitä, mutta se ei koskaan saa leikata niitä. Annikki piirtää ympyrän ensimmäisenä, ja se, joka ensimmäisenä ei voi piirtää vuorollaan ympyrää, häviää pelin. Onko jommalla kummalla pelaajalla voittostrategiaa?
 
Ratkaisu. Annikilla on voittostrategia. Nimittäin, jos hän ensimmäisellä vuorollaan piirtää 1-säteisen ympyränsä ison ympyrän keskelle, niin silloin hän voi sen jälkeen aina vuorollaan tehdä Bertan edellisen siirron peilikuvan ympyrän Y keskipisteen suhteen.

Ongelma. Kolmiossa ABC on AC=BC, ja sen sisäänpiirretyn ympyrän säde on 2. Lisäksi eräs 1-säteinen ympyrä sivuaa sekä sisäänpiirrettyä ympyrää että sivuja AC ja BC. Mikä onkaan kolmion pisteestä C piirretyn korkeusjanan pituus?

Ratkaisu. Merkitään 2-säteisen ympyrän keskipistettä I, ja 1-säteisen ympyrän keskipistettä J. Merkitään lisäksi 2-säteisen ympyrän ja sivun BC sivuamispistettä D, ja 1-säteisen ympyrän ja sivun BC sivuamispistettä E. Koska JE ja ID ovat molemmat kohtisuorassa sivua BC vastaan, ovat kolmiot CJE ja CID yhdenmuotoisia. Erityisesti on siis oltava CI:CJ=ID:JE=2:1, eli CJ+3=CI=2*CJ, mistä ratkaistaan helposti, että CJ=3. Mutta nyt kolmion korkeus on CJ+1+2+2=8.

Ongelma. Pöydällä on 1001 kiveä yhdessä kasassa. Seuraavaa operaatiota suoritetaan toistuvasti: otetaan yksi kasa, poistetaan siitä yksi kivi, ja sitten jäljelle jäänyt kasa jaetaan kahdeksi eri kasaksi (joiden ei tarvitse olla yhtä suuria). Onko näin toimimalla mahdollista päästä tilanteeseen, jossa pöydän jokaisessa kasassa on täsmälleen kolme kiveä?

Ratkaisu. Kasojen lukumäärän ja kivien lukumäärän summa säilyy muuttumattomana. Alussa summa on jakojäännökseltään 2 neljällä jaettaessa, mutta tilanteessa, jossa jokaisessa kasassa olisi täsmälleen kolme kiveä, se olisi neljällä jaollinen. Siten jälkimmäiseen tilanteeseen ei ole mahdollista päästä.

Sudoku

TEK 3/2017 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1.

Ongelma. Ympyrän, jonka säde on neljä, sisältä on annettu 61 pistettä. Osoita, että näiden pisteiden joukosta löytyy kaksi, joiden välinen etäisyys on enintään neliöjuuri kahdesta.
    
Ratkaisu. Piirretään ympyrän ympärille 8-sivuinen neliö, ja jakakaamme se 64 yksikköneliöksi. On helppo varmistaa, että ympyrä ei leikkaa nurkissa olevia yksikköneliöitä, eli ympyrä leikkaa vain 60 pientä neliötä, jolloin jotkin kaksi annetuista pisteistä löytyvät saman yksikköneliön alueelta (reuna mahdollisesti mukaan lukien). Väite koskien nurkkaneliöitä on helppo varmistaa vaikkapa seuraavasti: nurkkaneliön lähinnä ympyrän keskipistettä oleva kärki on ympyrän keskipisteestä etäisyydellä sqrt(32+32)=3*sqrt(2)>4.

PULMA 2.

Ongelma. Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvut n, joilla n3+5n2+10n+1 on jonkin kokonaisluvun kolmas potenssi.
    
Ratkaisu. Jokaisella n on (n+1)3=n3+3n2+3n+1 ja (n+2)3=n3+6n2+12n+8, eli (n+1)3<n3+5n2+10n+1<(n+2)3. Koska lauseke aina sijaitsee aidosti kahden peräkkäisen kuutioluvun välissä, ei se itse voi koskaan olla kuutioluku.

PULMA 3.

Ongelma. Alla olevassa kuvassa on 1-särmäisistä kuutioista koostuva 2-särmäinen kuutio, 2-särmäisistä kuutioista koostuva 6-särmäinen kuutio, ja 3-särmäisistä kuutioista koostuva 12-särmäinen kuutio. Mitä voit päätellä kuvioista, kun tiedetään, että positiivisille kokonaisluvuille n pätee

Ratkaisu. Kuutioita tarkastelemalla voi päätyä tällaiseen havaintoon: kun k on positiivinen kokonaisluku, voi k(k-1)-särmäisen kuution peittää tiiviisti k-särmäisillä kuutioilla, jolloin saadaan isompi (k+1)k-särmäinen kuutio. Näitä k-särmäisiä kuutioita tarvitaan 8+12(k-1)+6(k-1)2 kappaletta. Siten

ja pienellä sievennyksellä saadaan

PULMA 4.

Ongelma. Lumisen kevään kunniaksi on alla olevassa kuvassa lumiukko, jota nyt tarkastellaan. Lumiukon alemman pallon säde on kaksi, ylemmän pallon säde on yksi. Lumiukon ylempi pallo on asetettu alemman pallon päälle niin, että ylemmän pallon keskipiste on alemman pallon kuorella, ja ylemmästä pallosta on koverrettu riittävästi lunta pois, että se asettuu saumattomasti alemmalle pallolle. Määritä pinta-ala.

Ratkaisu. Katsotaan alla olevaa ratkaisukuvaa. Pallojen keskipisteiden etäisyys on kaksi. Saadaan siis Pythagoraksen lauseella yhtälöt x2+y2=1 ja x2+(2-y)2=22. Toisesta yhtälöstä ensimmäinen vähentämällä saadaan y=1/4. Pallojen yhteenlaskettu pinta-ala on 4pi(12+22)=20pi. Lasketaan poistuneiden kalottien alat. Kalotin alan kaava on 2pi rh, missä r on pallon säde ja h kalotin korkeus. Isomman pallon poistuneelle kalotille tämä antaa 2pi*2/4=pi, sillä kalotin korkeus on äsken ratkaistu y=1/4. Pienemmälle pallolle taas kalotin korkeus on 1-1/4=3/4, joten ala on 2pi*1*3/4=3pi/2. Yhteensä ala on siis 20pi-pi-3pi/2=17,5pi.

TEK 2/2017 -lehdessä julkaistujen Pulmien ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1

Ongelma. Ilmassa leijuu metrin pituinen suora langanpätkä. Sen päällä on sata pienen pientä muurahaista, joista jokainen kävelee langanpätkää pitkin tasaisella nopeudella 1 cm sekunnissa jompaan kumpaan käytettävissä olevista suunnista. Kun kaksi muurahaista törmäävät, ne molemmat kääntyvät ja jatkavat matkaansa samalla nopeudella siihen suuntaan mistä tulivatkin. Kun muurahainen saapuu langanpätkän jompaan kumpaan päähän, se putoaa siltä pois. Kuinka kauan on odotettava, että kaikki muurahaiset ovat varmasti pudonneet pois?

Vastaus. Sata sekuntia.

Ratkaisu. Kysymyksemme kannalta muurahaisten identiteeteillä ei ole mitään merkitystä ja voimme siksi olettaa, että kahden muurahaisen törmätessä ne vain jatkavat matkaansa toistensa läpi ikään kuin mitään törmäystä ei olisi koskaan tapahtunutkaan. Mutta nyt langanpätkän tyhjenemiseen menee enintään niin kauan kuin yhdeltä muurahaiselta kestää kävellä sen päästä päähän, eli tasan sata sekuntia.

PULMA 2

Ongelma. Oheisessa kuviossa on suunnikas, joka on jaettu janoilla 
kolmioiksi ja nelikulmioiksi. Osoita, että harmaiden alueiden alojen summa on yhtä suuri kuin mustan alueen ala.

Ratkaisu. Merkitään kuviossa neliöiden ja kolmioiden aloja a, b, c, d, r ja s seuraavan kuvion mukaisesti.

Luonnollisesti r+d+s on puolet koko suunnikkaan alasta. Samassa hengessä r+a+b+s+c on puolet koko suunnikkaan alasta. Siten r+d+s=r+a+b+s+c, mikä sievenee muotoon d=a+b+c, mikä oli todistettava.

PULMA 3

Ongelma. Honkapitäjän ja Koivulaakson välillä kulkevia junia lähtee kummassakin kaupungissa tunnin välein tasatunnein. Matka kestää tasan neljä tuntia. Matti matkusti junalla Honka­pitäjästä Koivulaaksoon ja katseli junan ikkunasta koko matkan ajan. Montako Koivulaaksosta Honkapitäjään matkalla 
olevaa junaa hän näki matkansa aikana? (Tässä mahdollisia juuri Honkapitäjään 
saapumassa olevia tai Koivulaaksosta lähdössä olevia junia ei oteta huomioon.)

Vastaus. Matti näki seitsemän vastaantulevaa junaa.

Ratkaisu. Piirretään kuva, jossa aika kuluu vaakasuunnassa ja rata pystysuunnassa. Matin juna on merkitty paksulla viivalla, ja muut viistot viivat ovat Koivulaaksosta Honkapitäjään matkustavia junia.

SUDOKU

TEK 1/2017 -lehdessä julkaistujen Pulmien ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1

Ongelma. Oheisessa kuvassa on kolme säännöllistä seitsenkulmiota, joiden sivujen pituudet ovat 3, 4 ja 7. Kuinka suuren osan isoimman seitsenkulmion alasta kaksi pienempää seitsenkulmiota peittävät?

Vastaus. Pienemmät seitsenkulmiot peittävät 25/49 isoimman seitsenkulmion alasta.

Ratkaisu. Kun pituudet kerrotaan vakiolla a, pinta-alat tulevat kerrotuiksi neliöllä a2. Siten pienimmän seitsenkulmion ala on (3/7)2 = 9/49 isoimman seitsenkulmion alasta, ja toiseksi pienimmän seitsenkulmion ala (4/7)2 = 16/49. Yhteensä ison seitsenkulmion alasta peittyy siis (9 + 16)/49 = 25/49.

PULMA 2

Ongelma. Onko oheinen 6 × 6 -ruudukko mahdollista peittää oheisilla 15 laatalla?

Vastaus. Ei ole.

Ratkaisu. Oletetaan, että halutunlainen laatoitus olisi mahdollinen. Väritetään ruudukon ruudut mustalla ja valkealla samoin kuin šakkilaudan ruudut. Näin syntyy 18 mustaa ja 18 valkeaa ruutua. Laatoista 4×1- ja 2×1-laatat kummatkin peittävät aina yhtä monta valkeaa ja mustaa ruutua, ja siten yhdessä niiden muotoiset laatat peittävät 14 mustaa ja 14 valkeaa ruutua. Loput neljä mustaa ja neljä valkeaa ruutua pitäisi siis peittää viiden ruudun ristikkolaatalla ja kolmen ruudun nurkkalaatalla, mutta tämä ei ole mahdollista. Tämän näkee toteamalla vaikkapa, että ristikkolaatta peittäisi jo yksinään joko kaikki jäljelle jääneet mustat tai kaikki jäljelle jääneet valkeat ruudut, jolloin nurkkalaattaa, jonka on aina peitettävä ainakin yksi musta ja yksi valkea ruutu, ei voisi asettaa laudalle.

PULMA 3

Ongelma. Matti kirjoittaa lukuja joukosta {1, 2, 3, . . . , 998, 999, 1000} liitutaululle jonoon. Hän haluaa, että kahden peräkkäisen luvun summa on aina jaollinen sadalla. Kuinka pitkään hän voi jatkaa ennen kuin hänen viimeistään on kirjoitettava taululle jokin jo aiemmin kirjoitettu luku?

Vastaus. Viimeistään 21. luku on jo esiintynyt taululla aiemmin. 

Ratkaisu. Kirjoittakoon Matti taululle luvut x1, x2, . . . , xN , missä N on positiivinen kokonaisluku. Koska luvut x1 + x2 ja x2 + x3 ovat molemmat sadalla jaollisia, on myös niiden erotus x1 − x3 sadalla jaollinen. Täten luvuilla x1 ja x3 on sama jakojäännös sadalla jaettaessa. Mutta nyt ei ole hankala todeta, että luvuilla x1, x3, x5, . . . on keskenään sama jakojäännös sadalla jaettaessa, ja samoin luvuilla x2, x4, x6, . . . on keskenään sama jakojäännös sadalla jaettaessa. Jokaisella mahdollisella jakojäännöksellä sadalla jaettaessa on listassa 1, 2, 3, . . . , 1000 täsmälleen kymmenen lukua, joilla on tuo jakojäännös. Täten lukuja x1, x3, ...on enintään kymmenen kappaletta, ja samaten lukuja x2, x4, ...on enintään kymmenen kappaletta. Täten N on enintään 10 + 10 = 20. Toisaalta, arvo N = 20 on mahdollinen, jos Matti kirjoittaa taululle vaikkapa luvut 1, 999, 101, 899, 201, 799, 301, 699, 401, 599, 501, 499, 601, 399, 701, 299, 801, 199, 901, 99.

PULMA 4

Ongelma. Luvut 1, 2, 3, 4, ..., 2016 ja 2017 kerrotaan keskenään. Kuinka moneen nollaan näin saatu luku päättyy?

Vastaus. Tulo päättyy 502 nollaan.

Ratkaisu. Yksikäsitteisen tekijöihinjaon vuoksi meitä kiinnostaa vain se, kuinka monta kertaa alkuluvut 2 ja 5 esiintyvät tulon tekijöihinjaossa. Ensinnäkin, joka viides tulontekijöistä on viidellä jaollinen, ja näin saadaan 403 kappaletta alkulukua 5. Toiseksi, joka 25. tulontekijöistä on jaollinen luvulla 25, joten saadaan 80 kappaletta alkulukua 5 lisää. Edelleen, tarkastelemalla jaollisuutta luvun 5 kolmannella potenssilla 125 saadaan 16 kappaletta lisää, ja neljännellä potenssilla 625 saadaan vielä 3 kappaletta lisää. Viides potenssi 3125 onkin jo isompi kuin 2017. Yhteensä alkuluku 5 esiintyy siis 403 + 80 + 16 + 3 = 502 kertaa tulon tekijöihinjaossa. Nyt on varsin selvää, että alkuluku 2 esiintyy useammin kuin alkuluku 5, ja itse asiassa samanlaisella argumentilla näkee, että luku 2 esiintyy tekijöihinjaossa peräti 2010 kertaa. Yhteensä tulo päättyy siis 502 nollaan.

SUDOKU

 

TEK 5/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 4/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 3/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 2/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 1/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 5/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 4/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 3/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 2/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 1/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

 

TEK 7/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

 

TEK 6/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 5/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 4/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 3/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 2/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 1/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 7/2013 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

 

TEK 6/2013 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu: