Sudoku ja pulmat

TEK 1/2017 -lehdessä julkaistujen Pulmien ratkaisut:

Tehtävät laatineet: Anna-Maria Ernvall-Hytönen, Esa Vesalainen. Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1

Ongelma. Oheisessa kuvassa on kolme säännöllistä seitsenkulmiota, joiden sivujen pituudet ovat 3, 4 ja 7. Kuinka suuren osan isoimman seitsenkulmion alasta kaksi pienempää seitsenkulmiota peittävät?

Vastaus. Pienemmät seitsenkulmiot peittävät 25/49 isoimman seitsenkulmion alasta.

Ratkaisu. Kun pituudet kerrotaan vakiolla a, pinta-alat tulevat kerrotuiksi neliöllä a2. Siten pienimmän seitsenkulmion ala on (3/7)2 = 9/49 isoimman seitsenkulmion alasta, ja toiseksi pienimmän seitsenkulmion ala (4/7)2 = 16/49. Yhteensä ison seitsenkulmion alasta peittyy siis (9 + 16)/49 = 25/49.

PULMA 2

Ongelma. Onko oheinen 6 × 6 -ruudukko mahdollista peittää oheisilla 15 laatalla?

Vastaus. Ei ole.

Ratkaisu. Oletetaan, että halutunlainen laatoitus olisi mahdollinen. Väritetään ruudukon ruudut mustalla ja valkealla samoin kuin šakkilaudan ruudut. Näin syntyy 18 mustaa ja 18 valkeaa ruutua. Laatoista 4×1- ja 2×1-laatat kummatkin peittävät aina yhtä monta valkeaa ja mustaa ruutua, ja siten yhdessä niiden muotoiset laatat peittävät 14 mustaa ja 14 valkeaa ruutua. Loput neljä mustaa ja neljä valkeaa ruutua pitäisi siis peittää viiden ruudun ristikkolaatalla ja kolmen ruudun nurkkalaatalla, mutta tämä ei ole mahdollista. Tämän näkee toteamalla vaikkapa, että ristikkolaatta peittäisi jo yksinään joko kaikki jäljelle jääneet mustat tai kaikki jäljelle jääneet valkeat ruudut, jolloin nurkkalaattaa, jonka on aina peitettävä ainakin yksi musta ja yksi valkea ruutu, ei voisi asettaa laudalle.

PULMA 3

Ongelma. Matti kirjoittaa lukuja joukosta {1, 2, 3, . . . , 998, 999, 1000} liitutaululle jonoon. Hän haluaa, että kahden peräkkäisen luvun summa on aina jaollinen sadalla. Kuinka pitkään hän voi jatkaa ennen kuin hänen viimeistään on kirjoitettava taululle jokin jo aiemmin kirjoitettu luku?

Vastaus. Viimeistään 21. luku on jo esiintynyt taululla aiemmin. 

Ratkaisu. Kirjoittakoon Matti taululle luvut x1, x2, . . . , xN , missä N on positiivinen kokonaisluku. Koska luvut x1 + x2 ja x2 + x3 ovat molemmat sadalla jaollisia, on myös niiden erotus x1 − x3 sadalla jaollinen. Täten luvuilla x1 ja x3 on sama jakojäännös sadalla jaettaessa. Mutta nyt ei ole hankala todeta, että luvuilla x1, x3, x5, . . . on keskenään sama jakojäännös sadalla jaettaessa, ja samoin luvuilla x2, x4, x6, . . . on keskenään sama jakojäännös sadalla jaettaessa. Jokaisella mahdollisella jakojäännöksellä sadalla jaettaessa on listassa 1, 2, 3, . . . , 1000 täsmälleen kymmenen lukua, joilla on tuo jakojäännös. Täten lukuja x1, x3, ...on enintään kymmenen kappaletta, ja samaten lukuja x2, x4, ...on enintään kymmenen kappaletta. Täten N on enintään 10 + 10 = 20. Toisaalta, arvo N = 20 on mahdollinen, jos Matti kirjoittaa taululle vaikkapa luvut 1, 999, 101, 899, 201, 799, 301, 699, 401, 599, 501, 499, 601, 399, 701, 299, 801, 199, 901, 99.

PULMA 4

Ongelma. Luvut 1, 2, 3, 4, ..., 2016 ja 2017 kerrotaan keskenään. Kuinka moneen nollaan näin saatu luku päättyy?

Vastaus. Tulo päättyy 502 nollaan.

Ratkaisu. Yksikäsitteisen tekijöihinjaon vuoksi meitä kiinnostaa vain se, kuinka monta kertaa alkuluvut 2 ja 5 esiintyvät tulon tekijöihinjaossa. Ensinnäkin, joka viides tulontekijöistä on viidellä jaollinen, ja näin saadaan 403 kappaletta alkulukua 5. Toiseksi, joka 25. tulontekijöistä on jaollinen luvulla 25, joten saadaan 80 kappaletta alkulukua 5 lisää. Edelleen, tarkastelemalla jaollisuutta luvun 5 kolmannella potenssilla 125 saadaan 16 kappaletta lisää, ja neljännellä potenssilla 625 saadaan vielä 3 kappaletta lisää. Viides potenssi 3125 onkin jo isompi kuin 2017. Yhteensä alkuluku 5 esiintyy siis 403 + 80 + 16 + 3 = 502 kertaa tulon tekijöihinjaossa. Nyt on varsin selvää, että alkuluku 2 esiintyy useammin kuin alkuluku 5, ja itse asiassa samanlaisella argumentilla näkee, että luku 2 esiintyy tekijöihinjaossa peräti 2010 kertaa. Yhteensä tulo päättyy siis 502 nollaan.

SUDOKU

 

TEK 5/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 4/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 3/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 2/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 1/2016 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 5/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 4/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 3/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 2/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 1/2015 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

 

TEK 7/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

 

TEK 6/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 5/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 4/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 3/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 2/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 1/2014 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

TEK 7/2013 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

 

TEK 6/2013 -lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu:

Kommentit

TEK 1/ 2014- lehdessä julkaistun Sudokun ratkaisu?

On jo viikko kulunut lehden saapumisesta! Eihän ratkaisuun mennyt kuin vajaa tunti. Haluaisin varmistautua ennen roskikseen heittämitä 1 Terveisin TEK jäsen.1918..Antero Kallio

Lisää uusi kommentti

(If you're a human, don't change the following field)
Your first name.
(If you're a human, don't change the following field)
Your first name.